Algèbres quasi-commutatives et carrés de Steenrod

On étudie ici une classe particulière d’objets algébriques appelés k-algèbres de cochaînes fortement quasi-commutatives, définies sur un corps k de caractéristique p. Une condition nécessaire et suffisante est établie pour que leur cohomologie à coefficients dans Z₂ ait une structure de module instable sur l’algèbre de Steenrod. À tout complexe CW simplement connexe de type fini, on peut associer une telle algèbre, dont la cohomologie retrouve la même structure de module que H⁎(X ; Z₂). Cela permet d’étudier des propriétés topologiques via des outils purement algébriques.

Here we study a particular class of algebraic objects called k-algebras of strongly quasi-commutative cochains, defined over a field k of characteristic p. A necessary and sufficient condition is established for their cohomology with coefficients in Z₂ to have an unstable module structure on the Steenrod algebra. To any simply connected CW complex of finite type, we can associate such an algebra, whose cohomology recovers the same module structure as H⁎(X ; Z₂). This allows us to study topological properties using purely algebraic tools.

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